Đối xứng và cái đẹp

Đối với các nhà thơ và họa sĩ, cái đẹp là một phẩm chất thẩm mỹ thanh tao gây xúc cảm và niềm đam mê lớn.

Đối với nhà vật lý, cái đẹp là đối xứng. Một phương trình là đẹp bởi vì nó đối xứng - tức là, nếu bạn sắp xếp lại hay thay đổi vị trí các thành phần của nó thì phương trình vẫn như cũ. Người ta nói nó bất biến đối với phép biến đổi đó. Hãy nghĩ về kính vạn hoa. Đó là một mớ ngẫu nhiên các hình dạng nhiều màu sắc và, với các mảnh gương, tạo ra rất nhiều bản sao của chúng, rồi sắp xếp những hình ảnh đó một cách đối xứng trên một vòng tròn. Như vậy, một cái gì đó rất hỗn độn bỗng nhiên trở nên có trật tự và tuyệt đẹp vì sự đối xứng.

Tương tự, một bông hoa tuyết là đẹp bởi vì, khi ta quay nó 60° thì nó trông vẫn như cũ. Một hình cầu thậm chí còn đối xứng hơn. Bạn có thể quay nó một góc bất kỳ nào đó xung quanh tâm của nó thì hình cầu vẫn không thay đổi. Đối với nhà vật lý, một phương trình là đẹp nếu ta sắp xếp lại các hạt và các thành phần khác nhau trong phương trình và tìm thấy kết quả không có gì thay đổi - hay nói cách khác, nếu ta tìm thấy sự đối xứng giữa các phần của nó.

Nhà toán học nổi tiếng người Anh G.H. Hardy từng viết, “Các hình mẫu của một nhà toán học, cũng giống như của họa sĩ hay nhà thơ, đều phải đẹp; các ý tưởng, cũng giống như màu sắc hay ngôn từ, cần phải kết nối với nhau một cách hài hòa. Vẻ đẹp là phép thử đầu tiên; trong thế giới này không có chỗ thường trực cho thứ toán học xấu xí.” Mà vẻ đẹp đó chính là đối xứng.

Vũ trụ luôn bí ẩn chờ con người khám phá. Ảnh: Porapak Apichodilok/Pexels.

Chúng ta đã thấy được rằng nếu bạn dùng lực hấp dẫn của Newton cho Trái đất quay xung quanh Mặt trời, thì bán kính quỹ đạo của Trái đất không đổi. Các tọa độ X và Y thay đổi nhưng bán kính R thì không. Điều này cũng có thể mở rộng cho ba chiều.

Hãy hình dung bạn đang ngồi trên bề mặt Trái đất, vị trí đó được xác định bởi ba chiều: X, Y và Z là các tọa độ của bạn (xem hình 5). Khi bạn đi bất kỳ đâu trên bề mặt Trái đất thì bán kính Rcủa Trái đất đều không thay đổi, với R2 =X2 +Y2 +Z2. Đây là phiên bản ba chiều của định lý Pythagoras.*

* Để thấy điều này, hãy lấy Z = 0. Khi đó hình cầu quy về một vòng tròn trên mặt phẳng XY, hệt như trước đó. Chúng ta đã thấy rằng khi bạn đi vòng quanh vòng tròn này, ta có X2 +Y2 = R2. Bây giờ giả sử ta tăng dần Z. Vòng tròn này sẽ nhỏ dần khi ta tiến theo hướng Z, (nó ứng với các đường vĩ tuyến trên địa cầu). R vẫn không đổi, nhưng phương trình đối với vòng tròn nhỏ bây giờ trở thành X2 + Y2 + Z2 = R2, đối với giá trị Z cố định. Bây giờ nếu cho Z biến thiên, chúng ta sẽ thấy một điểm bất kỳ trên mặt cầu có các tọa độ được cho bởi X, Y và Z, như vậy định lý Pythagoras ba chiều là đúng. Tóm lại, tất cả các điểm trên mặt cầu đều có thể được mô tả bởi định lý Pythagoras ba chiều, sao cho R luôn không đổi, trong khi các tọa độ X, Y và Z thay đổi khi bạn di chuyển quanh mặt cầu. Nhận thức sâu sắc của Einstein là cần phải mở rộng điều này sang bốn chiều, với chiều thứ tư là thời gian.

Einstein và cuộc tìm kiếm sự thống nhất

Hình 5. Khi bạn lang thang trên bề mặt Trái đất, bán kính R của Trái đất là một hằng số, tức là bất biến, mặc dù các tọa độ X, Y và Z của bạn luôn thay đổi với nhau. Vậy định lý Pythagoras ba chiều chính là biểu thức toán học của đối xứng đó.

Bây giờ, nếu chúng ta lấy các phương trình Einstein và sau đó đảo không gian thành thời gian và thời gian thành không gian, các phương trình này vẫn không thay đổi. Điều này có nghĩa là ba chiều không gian bây giờ được ghép với chiều thời gian T, hay nói cách khác thời gian trở thành chiều thứ tư. Einstein đã chứng minh được rằng X2 + Y2 + X2 - T2 (với thời gian được biểu diễn theo một đơn vị thích hợp) luôn không đổi. Đây chính là phiên bản sửa đổi của định lý Pythagoras trong bốn chiều. (Lưu ý rằng ở đây trước tọa độ thời gian có dấu trừ. Điều này nghĩa là mặc dù thuyết tương đối bất biến đối với các phép quay trong bốn chiều, nhưng chiều thời gian đã được xử lý hơi khác so với ba chiều không gian.) Như vậy các phương trình Einstein là đối xứng trong bốn chiều.

Các sử gia phần lớn cũng nhất trí rằng Bohr và những người nổi loạn lượng tử đã thắng trong cuộc tranh luận này.

Tuy nhiên, Einstein đã thành công trong việc vạch ra những vết nứt trong nền tảng của cơ học lượng tử. Ông đã chỉ ra rằng nó là người khổng lồ cao ngất ngưởng nhưng lại đứng trên đôi chân triết học bằng đất sét. Những phê phán đó thậm chí vẫn còn vọng đến hôm nay, và tất cả chúng đều tập trung vào một con mèo.