Thế giới phù hợp với giải tích toán

Như bạn chắc đã hiểu, tôi có ý định trình bày về lịch sử và giá trị của giải tích toán theo quan điểm của một nhà toán học ứng dụng. Một sử gia toán học hẳn sẽ kể tất cả một cách hoàn toàn khác, sẽ y như một nhà toán học thuần túy vậy.

Điều khiến tôi, một nhà toán học ứng dụng, khâm phục, đó là có một mối liên hệ giữa thế giới hiện thực xung quanh và thế giới các ý niệm ở trong đầu chúng ta.

Các hiện tượng bên ngoài chính là nguyên nhân khiến chúng ta đặt ra các câu hỏi; và ngược lại, toán học mà chúng ta tưởng tượng ra đôi khi lại tiên đoán được cái sẽ diễn ra trong thực tế. Khi điều đó xảy ra thì hiệu quả vô cùng đáng kinh ngạc.

Làm toán học ứng dụng nghĩa là nhìn hướng ngoại và không mấy chặt chẽ về mặt trí tuệ. Đối với các chuyên gia trong lĩnh vực này, toán học không phải là thế giới khép kín và thuần túy của các định lý và chứng minh tự phản ánh chính bản thân chúng.

Ảnh minh hoạ. Nguồn: Khanh Le/Pexels.

Chúng tôi thì ôm đồm đủ loại đối tượng: triết học, chính trị, khoa học, lịch sử, y học, v.v. Và tôi muốn kể cho bạn về một câu chuyện như thế đó - một thế giới tương ứng với giải tích toán.

Đó là cái nhìn rộng lớn hơn nhiều về giải tích. Nó bao gồm nhiều lĩnh vực họ hàng, cả kề cận cũng như trong khuôn khổ của toán học. Vì cái nhìn rộng lớn như thế còn khá xa lạ, nên tôi muốn khẳng định ngay rằng nó không hề gây ra sự rắc rối, phức tạp nào.

Chẳng hạn, khi tôi nói rằng không có giải tích chúng ta sẽ không có máy tính, không có điện thoại di động, v.v, thì tôi hoàn toàn không có ý nói rằng chính bản thân toán học tự mình tạo ra được những thứ kỳ diệu đó.

Hoàn toàn không. Khoa học và công nghệ là hai đối tác quan trọng - có thể là hai ngôi sao chủ chốt trong một show diễn. Ở đây tôi chỉ muốn nói rằng vai trò của giải tích không phải sau cùng, dù thường là vai trò hỗ trợ, trong việc làm cho thế giới trở nên như chúng ta biết ngày hôm nay.

Hãy lấy lịch sử liên lạc vô tuyến làm ví dụ. Tất cả bắt đầu từ việc các nhà bác học Michael Faraday và André-Marie Ampère phát minh ra các định luật của điện và từ.

Không có những quan sát và suy tư của họ thì các sự kiện quan trọng nhất về nam châm, dòng điện và các đường sức không nhìn thấy được của chúng sẽ vẫn còn chưa được biết tới, và không khi nào có thể xuất hiện liên lạc vô tuyến. Rõ ràng, trong lĩnh vực kiến thức đó không thể thiếu được vật lý thực nghiệm.

Nhưng giải tích cũng vô cùng cần thiết. Vào những năm 1860, nhà toán học người Scotland tên là James Clerk Maxwell đã biểu diễn các định luật thực nghiệm của điện và từ dưới dạng những ký hiệu mà ta có thể nghiên cứu bằng các phương pháp của giải tích toán. Sau một số các thao tác sẽ xuất hiện phương trình chẳng có ý nghĩa gì. Dường như trong vật lý còn thiếu một cái gì đó.

Maxwell ngờ rằng lỗi ở đây là định luật Ampère. Ông thử chỉnh sửa lại, bằng cách thêm vào phương trình của mình một số hạng mới - một dòng điện giả thuyết, và điều này cho phép giải quyết được mâu thuẫn - rồi ông lại tiếp tục dùng giải tích toán. Lần này ông đã nhận được kết quả hợp lý, một phương trình sóng đơn giản và tao nhã, rất giống với phương trình mô tả các gợn sóng trên mặt hồ.

Sự khác nhau là kết quả của Maxwell dự đoán một loại sóng mới, ở đó điện trường và từ trường cùng nhau thực hiện một điệu múa đôi. Điện trường biến thiên sinh ra từ trường biến thiên và, đến lượt mình, từ trường biến thiên lại sinh ra điện trường biến thiên, và cứ như vậy, các trường này ảnh hưởng lên nhau và truyền cùng nhau dưới dạng sóng năng lượng.

Và khi tính tốc độ của sóng này, Maxwell đã phát hiện ra - và đây là một trong những thời điểm vĩ đại nhất trong lịch sử khoa học - rằng sóng này truyền với tốc độ ánh sáng. Thành thử nhờ giải tích, ông không chỉ tiên đoán được sự tồn tại của các sóng điện từ mà còn giải quyết được một câu đố thế kỷ: Bản chất của ánh sáng là gì? Ông đã đi tới kết luận: ánh sáng là sóng điện từ.

Tiên đoán của Maxwell về sóng điện từ đã kích thích Heinrich Hertz tiến hành một thí nghiệm vào năm 1887 khẳng định sự tồn tại của sóng này. Một thập kỷ sau, Nikola Tesla đã xây dựng hệ thống liên lạc vô tuyến đầu tiên trên thế giới, và thêm năm năm nữa, Guglielmo Marconi đã truyền được những thông báo vô tuyến đầu tiên qua Đại Tây Dương. Rồi chẳng bao lâu sau xuất hiện truyền hình, điện thoại di động và các thứ còn lại khác.

Rõ ràng giải tích không thể đơn độc dẫn tới điều đó, nhưng cũng rõ ràng không kém là nếu thiếu nó thì điều đó cũng không thể xảy ra. Hay, nếu muốn chính xác hơn, thì cũng có thể xảy ra nhưng sẽ chậm trễ hơn rất nhiều.