Nhưng tại sao vũ trụ lại phải tôn trọng một logic nào đó, ấy là chưa nói, cái logic mà những con người bé nhỏ chúng ta có thể sử dụng? Chính điều này cũng đã khiến Einstein phải kinh ngạc khi ông viết, “Bí mật vĩnh cửu của thế giới là ở chỗ nó có thể hiểu được.”

Và chính điều đó cũng là ngụ ý của nhà vật lý Eugene Wigner trong tiểu luận “Tính hiệu quả đến phi lý của toán học trong các khoa học tự nhiên” khi ông viết: “Ngôn ngữ toán học thích hợp một cách đáng kinh ngạc đối với việc phát biểu các định luật vật lý, đó là một món quà tuyệt vời mà chúng ta không hiểu và cũng không xứng đáng với nó.”

Ảnh: newscientist.

Tình cảm sùng kính đó bắt nguồn từ lịch sử của toán học.

Theo truyền thuyết, Pythagoras đã có tình cảm đó vào khoảng năm 550 TCN, khi mà ông và các học trò của mình phát hiện ra rằng âm nhạc được điều chỉnh bởi tỷ số các số nguyên.

Ví dụ, hãy tưởng tượng bạn gảy một dây đàn guitar. Khi dây đàn rung, nó sẽ phát ra một nốt xác định. Giờ ấn ngón tay ở bàn tay trái vào điểm giữa chiều dài của dây đàn, rồi lại gảy nó. Khi này phần dây đàn dao động sẽ ngắn còn một nửa so với trước – tỷ số 1:2 - và dây đàn sẽ phát ra nốt cao hơn một quãng tám so với nốt ban đầu (quãng tám là khoảng cách từ nốt đô này đến nốt đô tiếp theo trong khoảng đô-rê-mi-fa-sol-la-si-đô.

Nếu rút ngắn dây đàn còn 2/3 chiều dài dây ban đầu thì nó sẽ phát ra nốt cao hơn một quãng năm (khoảng từ đô đến sol; hãy nhớ hai nốt đầu tiên từ bản nhạc hiệu Stars Wars). Và nếu phần dao động dây đàn là 3/4 chiều dài ban đầu của dây đàn thì nốt phát ra sẽ cao hơn một quãng bốn (khoảng giữa hai nốt đầu tiên của bản “Here Comes the Bride”).

Các nhạc sĩ thời Hy Lạp cổ đại đã biết về những quãng đó trong âm nhạc, như quãng tám, quãng năm và quãng bốn, và xem chúng là rất đẹp. Mối liên hệ thật bất ngờ đó giữa âm nhạc (các hòa âm của thế giới thực) và các con số (hòa âm của thế giới tưởng tượng) đã dẫn các môn đồ của trường phái Pythagoras tới niềm tin đầy bí ẩn rằng hết thảy đều là các con số. Họ thậm chí còn tin rằng các hành tinh chuyển động trên quỹ đạo của mình đều phát ra âm nhạc, âm nhạc của các tinh cầu.

Kể từ đó, nhiều nhà toán học vĩ đại nhất và những nhà bác học khác đều từng mắc cơn sốt Pythagoras này. Điển hình là nhà thiên văn Johannes Kepler. Nhà vật lý Paul Dirac cũng vậy. Như chúng ta sẽ thấy, điều đó kích thích họ mơ ước, tìm kiếm và hướng tới sự hài hòa của vũ trụ. Để cuối cùng thúc đẩy họ tới những phát minh làm thay đổi thế giới.

Để giúp bạn hiểu được chúng ta sẽ hướng đi đâu, hãy cho phép tôi nói đôi lời về giải tích là gì, hay nói một cách hình ảnh, nó muốn gì, và nó khác gì với các lĩnh vực khác của toán học. Thật may, có một ý tưởng đẹp và có giá trị xuyên suốt toàn bộ chủ đề này. Ngay khi chúng ta ý thức được nó, thì toàn bộ cấu trúc của giải tích sẽ tạo thành một bức tranh thống nhất, biến thành các biến tấu trên một chủ đề chung.

Thế mà phần lớn các giáo trình giải tích lại chôn vùi cái chủ đề này dưới một đống các công thức, thủ tục, và thủ thuật tính toán. Thực tình, nghĩ lại, tôi cũng chưa gặp được ai giải thích nó một cách cặn kẽ, mặc dù điều đó là một phần của văn hóa giải tích, mà dĩ nhiên mỗi chuyên gia đều đã biết.

Ta hãy tạm gọi nó là Nguyên lý Vô hạn. Nó sẽ hướng dẫn chúng ta trên hành trình của mình chính xác như nó đã hướng dẫn sự phát triển của giải tích, cả về mặt khái niệm lẫn lịch sử. Tôi cảm thấy bị cám dỗ muốn phát biểu nguyên lý đó ngay bây giờ, mặc dù nói ra ngay lúc này cũng chỉ như tiếng sấm nổ giữa trời quang mà thôi. Bạn sẽ đánh giá được điều này một cách đơn giản hơn nếu chúng ta tiến lên một cách chậm rãi, khi tự hỏi giải tích muốn gì... và bằng cách nào nó nhận được điều nó muốn.

Nếu nói một cách ngắn gọn thì, giải tích muốn làm cho những bài toán phức tạp trở thành đơn giản hơn. Nó thực sự muốn duy trì sự đơn giản. Bạn có thể thấy điều đó như là vô lý, khi nhận thấy rằng bản thân giải tích đã có tai tiếng là phức tạp rồi.